鏡面球を用いたパノラマ画像の生成

概要

鏡面球は360°全ての方向のシーンが写り込んでいます（球自身によって隠れている領域を除いて）．そこで，鏡面球を撮影してパノラマ画像を生成します．

鏡面球における反射

鏡面球において，入射光のベクトルを $\boldsymbol{s}$ ，観測面からの視線ベクトルを $\boldsymbol{v}$ とすると，鏡面球の単位法線ベクトル $\boldsymbol{n}$ は次式のように表せられます．

$\displaystyle \boldsymbol{n} = \frac{\boldsymbol{s}+\boldsymbol{v}}{\|\boldsymbol{s}+\boldsymbol{v}\|}$

f:id:raccoon15:20181222171109p:plain — 鏡面球での反射

変換の流れ

正距投影図形式のパノラマ画像に変換します．パノラマ画像の幅 $\theta$ を-180 $^ \circ$ から180 $^ \circ$ ，高さ $\phi$ を0 $^ \circ$ から180 $^ \circ$ として， $(\theta, \phi)$ 方向の輝度を表すとします．鏡面球を撮影した画像はアスペクト比が1:1として，撮影した球の中心が原点とする単位円として表すとします．

f:id:raccoon15:20181221133022p:plain — 鏡面球の画像からパノラマ画像への変換

このとき，入射光のベクトル $\boldsymbol{s}$ は次式で表せられます．

$s_{x} = \sin (\phi) \sin(\theta)$

$s_{y} = \cos (\phi)$

$s_{z} = -\sin (\phi) \cos(\theta)$

視線ベクトル $\boldsymbol{v}$ は $(0, 0, -1)$ と表します． $\boldsymbol{s}$ と $\boldsymbol{v}$ が定まったので， $(\theta, \phi)$ 方向の入射光に対応する球の単位法線ベクトル $\boldsymbol{n}$ を求めることができます．